Fungsi Total Euler - Arti, Contoh, Bagaimana Cara Menghitungnya?

Apa itu Fungsi Total Euler?

Fungsi Total Euler adalah fungsi perkalian matematis yang menghitung bilangan bulat positif hingga bilangan bulat yang diberikan umumnya disebut 'n' yang merupakan bilangan prima untuk 'n' dan fungsi tersebut digunakan untuk mengetahui jumlah bilangan prima yang ada hingga diberi integer 'n'.

Penjelasan

Untuk mengetahui berapa banyak bilangan prima yang datang ke bilangan bulat yang diberikan 'n' Fungsi Total Euler digunakan. Ini juga disebut fungsi aritmatika. Untuk aplikasi atau penggunaan fungsi Totient Euler, ada dua hal yang penting. Yang pertama adalah bahwa gcd yang dibentuk dari bilangan bulat 'n' yang diberikan harus perkalian satu sama lain, dan yang lainnya adalah bilangan gcd harus berupa bilangan prima saja. Bilangan bulat 'n' dalam kasus ini harus lebih dari 1. Dari bilangan bulat negatif, tidak mungkin menghitung Fungsi Total Euler. Prinsipnya, dalam hal ini, adalah bahwa untuk ϕ (n), pengali yang disebut m dan n harus lebih besar dari 1. Oleh karena itu, dilambangkan dengan 1

Sejarah

Euler memperkenalkan fungsi ini pada tahun 1763. Awalnya, Euler menggunakan bahasa Yunani π untuk menunjukkan fungsi tersebut, tetapi karena beberapa masalah, denotasi bahasa Yunani π tidak dikenali. Dan dia gagal memberikan tanda notasi yang tepat yaitu, ϕ. Karenanya fungsinya tidak bisa diperkenalkan. Lebih lanjut, ϕ diambil dari Gauss's 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Fungsi ini juga disebut sebagai fungsi phi. Tetapi JJ Sylvester, pada tahun 1879, memasukkan istilah total untuk fungsi ini karena sifat dan kegunaan fungsinya. Aturan yang berbeda dibingkai untuk menangani berbagai jenis bilangan bulat yang diberikan seperti jika bilangan bulat p adalah bilangan prima, lalu aturan mana yang akan diterapkan, dll. Semua aturan yang dibingkai oleh Euler dapat dipraktikkan dan dapat digunakan bahkan hingga hari ini saat berurusan dengan sama.

Properti Fungsi Totient Euler

Ada beberapa sifat yang berbeda. Beberapa properti fungsi total Euler adalah sebagai berikut:

  • Φ adalah simbol yang digunakan untuk menunjukkan fungsi tersebut.
  • Fungsi ini berhubungan dengan teori bilangan prima.
  • Fungsi ini hanya berlaku dalam kasus bilangan bulat positif.
  • Untuk ϕ (n), dua bilangan prima perkalian ditemukan untuk menghitung fungsinya.
  • Fungsi tersebut merupakan fungsi matematis dan berguna dalam banyak hal.
  • Jika bilangan bulat 'n' adalah bilangan prima, maka gcd (m, n) = 1.
  • Fungsi tersebut bekerja pada rumus 1 <m <n di mana m dan n adalah bilangan prima dan bilangan perkalian.
  • Secara umum persamaannya adalah
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Fungsi ini pada dasarnya menghitung jumlah bilangan bulat positif kurang dari bilangan bulat yang diberikan, yang merupakan bilangan prima relatif terhadap bilangan bulat yang diberikan.
  • Jika diberikan bilangan bulat p prima maka ϕ (p) = p - 1
  • Jika pangkat p pangkat pangkat utama maka, jika a = p n pangkat prima maka ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) bukan satu - satu
  • ϕ (n) tidak ke.
  • ϕ (n), n> 3 selalu genap.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Hitung Fungsi Total Euler

Contoh 1

Hitung ϕ (7)?

Larutan:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Karena semua bilangan prima hingga 7, maka mudah untuk menghitung ϕ.

Contoh # 2

Hitung ϕ (100)?

Larutan:

Karena 100 adalah bilangan besar maka memakan waktu untuk menghitung dari 1 sampai 100 bilangan prima yang merupakan bilangan prima dengan 100. Maka rumus di bawah ini kami terapkan:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Contoh # 3

Hitung ϕ (240)?

Kelipatan dari 240 adalah 16 * 5 * 3 yaitu 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

jika n M bukan bilangan prima maka kita menggunakan n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Contoh # 4

Hitung ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplikasi

Berbagai aplikasinya adalah sebagai berikut:

  • Fungsi tersebut digunakan untuk mendefinisikan sistem enkripsi RSA yang digunakan untuk enkripsi keamanan internet.
  • Digunakan dalam teori bilangan prima.
  • Digunakan dalam perhitungan besar juga.
  • Digunakan dalam aplikasi teori bilangan dasar.

Kesimpulan

Fungsi total Euler berguna dalam banyak hal. Ini digunakan dalam sistem enkripsi RSA, yang digunakan untuk tujuan keamanan. Fungsi ini berkaitan dengan teori bilangan prima, dan berguna juga dalam perhitungan kalkulasi besar. Fungsi ini juga digunakan dalam perhitungan aljabar dan bilangan dasar. Simbol yang digunakan untuk menunjukkan fungsi tersebut adalah ϕ, dan ini juga disebut fungsi phi. Fungsi tersebut terdiri dari penggunaan yang lebih teoretis daripada penggunaan praktis. Penggunaan praktis dari fungsi ini terbatas. Fungsi tersebut dapat lebih dipahami melalui berbagai contoh praktis daripada hanya penjelasan teoretis. Ada berbagai aturan untuk menghitung fungsi total Euler, dan untuk bilangan yang berbeda, aturan yang berbeda akan diterapkan. Fungsi ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1763, tetapi karena beberapa masalah,Ia mendapat pengakuan pada tahun 1784, dan namanya diubah pada tahun 1879. Fungsinya adalah fungsi universal dan dapat diterapkan di mana-mana.

Artikel yang menarik...