Apa itu Distribusi Log-Normal?
Distribusi log-normal adalah distribusi berkelanjutan dari variabel acak yang logaritmanya didistribusikan secara normal. Dengan kata lain, distribusi lognormal dihasilkan oleh fungsi e x , di mana x (variabel acak) seharusnya berdistribusi normal. Dalam logaritma natural dari e x adalah x, logaritma variabel acak yang terdistribusi secara normal berdistribusi normal.
Sebuah variabel X terdistribusi normal jika Y = ln (X), di mana ln adalah logaritma natural.
- Y = e x
- Mari kita asumsikan logaritma natural di kedua sisi.
- lnY = ln e x yang menghasilkan lnY = x
Oleh karena itu, dapat dikatakan, jika X sebagai variabel acak berdistribusi normal, maka Y berdistribusi lognormal.
Rumus Distribusi Log-Normal
Rumus untuk fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi lognormal ditentukan oleh mean μ dan deviasi standar σ, yang dilambangkan dengan:
Parameter Distribusi Log-Normal
Distribusi log-normal dicirikan oleh tiga parameter berikut:
- σ , deviasi standar dari log distribusi, yang juga disebut parameter bentuk. Parameter bentuk umumnya memengaruhi bentuk keseluruhan dari distribusi lognormal, tetapi tidak memengaruhi lokasi dan ketinggian grafik.
- m , median distribusi, juga dikenal sebagai parameter skala.
- Θ , parameter lokasi yang digunakan untuk menempatkan grafik pada sumbu x.
Rerata dan deviasi standar adalah dua parameter utama dari distribusi lognormal, dan secara eksplisit ditentukan oleh dua parameter ini.
Gambar berikut mengilustrasikan distribusi normal dan distribusi log-normal.
Dari gambar di atas, kita dapat mencatat fitur-fitur distribusi log-normal berikut.
- Distribusi log-normal secara positif miring ke kanan karena nilai rata-rata yang lebih rendah dan varians yang lebih tinggi dalam variabel acak dalam pertimbangan.
- Distribusi lognormal selalu dibatasi dari bawah oleh 0 karena membantu dalam pemodelan harga aset, yang tidak diharapkan membawa nilai negatif.
- Distribusi lognormal miring secara positif dengan sejumlah besar nilai kecil dan menyertakan beberapa nilai utama, yang seringkali mengakibatkan mean lebih besar daripada mode.
Dari gambar di atas, kita dapat mengamati bahwa distribusi log-normal dibatasi oleh 0, dan itu secara positif miring ke kanan, yang dapat dilihat dari ekornya yang panjang ke arah kanan. Kedua pengamatan ini dianggap sebagai properti utama distribusi lognormal. Dalam praktiknya, distribusi lognormal terbukti sangat membantu dalam distribusi ekuitas atau harga aset, sedangkan distribusi normal sangat berguna dalam memperkirakan pengembalian aset yang diharapkan selama periode waktu tertentu.
Contoh Distribusi Log-Normal
Berikut adalah beberapa contoh di mana distribusi log-normal dapat digunakan:
- Volume gas dalam energi dan cadangan minyak bumi.
- Volume produksi susu.
- Kuantitas curah hujan.
- Kehidupan potensial unit manufaktur dan industri yang peluangnya untuk bertahan hidup dicirikan oleh tingkat stres.
- Jangka waktu penyakit menular apa pun.
Aplikasi dan Penggunaan Distribusi Log-Normal
Berikut ini adalah aplikasi dan penggunaan distribusi log-normal.
- Distribusi yang paling umum digunakan dan populer adalah distribusi normal, yang berdistribusi normal dan simetris serta membentuk kurva berbentuk lonceng yang memiliki pemodelan berbagai natural dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks.
- Tetapi ada contoh di mana distribusi normal menghadapi kendala di mana distribusi lognormal dapat dengan mudah diterapkan. Distribusi normal dapat mempertimbangkan variabel acak negatif, tetapi distribusi lognormal hanya membayangkan variabel acak positif.
- Salah satu dari berbagai aplikasi di mana distribusi lognormal digunakan di bidang keuangan yang diterapkan dalam analisis harga aset. Pengembalian yang diharapkan dari aset digambarkan dalam distribusi normal, tetapi harga aset digambarkan dalam distribusi lognormal.
- Dengan bantuan kurva distribusi lognormal, kita dapat dengan mudah menghitung tingkat pengembalian gabungan atas aset selama periode waktu tertentu.
- Jika kami menerapkan distribusi normal untuk menghitung harga aset selama periode waktu tertentu, ada kemungkinan mendapatkan pengembalian kurang dari -100%, yang selanjutnya mengasumsikan harga aset kurang dari 0. Tetapi jika kami menggunakan distribusi lognormal untuk memperkirakan gabungan tingkat pengembalian selama periode waktu tertentu, kita dapat dengan mudah menangkal situasi mendapatkan pengembalian negatif karena distribusi lognormal hanya mempertimbangkan variabel acak positif.
- Harga relatif adalah harga aset pada akhir periode dibagi dengan harga awal aset, yang sama dengan 1 ditambah pengembalian periode kepemilikan. Untuk mencari akhir aset dari harga periode, kita bisa mendapatkan yang sama dengan mengalikannya dengan harga relatif dikalikan harga aset awal. Distribusi lognormal hanya membutuhkan nilai positif; oleh karena itu, harga aset pada akhir periode tidak boleh di bawah 0.
Distribusi Log-Normal dalam Pemodelan Harga Saham Ekuitas
Distribusi log-normal telah digunakan untuk memodelkan distribusi probabilitas saham dan banyak harga aset lainnya. Misalnya, kami telah mengamati keberadaan lognormal yang muncul dalam model penetapan harga opsi Black-Scholes-Merton, di mana ada asumsi bahwa harga opsi aset yang mendasarinya didistribusikan secara lognormal pada waktu yang sama.
Kesimpulan
- Distribusi normal adalah distribusi probabilitas, yang disebut kurva asimetris dan berbentuk lonceng. Dalam distribusi normal, 69% dari hasil berada dalam satu standar deviasi, dan 95% berada dalam dua standar deviasi.
- Karena popularitas distribusi normal, sebagian besar orang sudah mengenal konsep dan penerapan distribusi normal, tetapi pada saat itu, mereka tampaknya tidak begitu paham dengan konsep distribusi lognormal. Distribusi normal dapat diubah menjadi distribusi lognormal dengan bantuan logaritma, yang menjadi basis fundamental karena distribusi lognormal merupakan satu-satunya variabel acak yang terdistribusi normal.
- Distribusi lognormal dapat digunakan bersama dengan distribusi normal. Distribusi lognormal adalah hasil dari asumsi logaritma natural ln di mana basis sama dengan e = 2.718. Selain basis yang diberikan, distribusi lognormal dapat dibuat menggunakan basis lain, yang selanjutnya akan berdampak pada bentuk distribusi lognormal.
- Grafik distribusi lognormal mencatat log variabel acak yang terdistribusi normal dari kurva distribusi normal. Ln, log natural dikenal e, eksponen yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan variabel acak x yang diinginkan, yang dapat ditemukan pada kurva distribusi normal.
