Apa itu Distribusi Eksponensial?
Distribusi eksponensial mengacu pada distribusi probabilitas kontinu dan konstan yang sebenarnya digunakan untuk memodelkan periode waktu yang dibutuhkan seseorang untuk menunggu sebelum peristiwa tertentu terjadi dan distribusi ini adalah pasangan kontinu dari distribusi geometris yang berbeda.
Rumus Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu x (dengan parameter skala λ> 0) dikatakan berdistribusi eksponensial hanya jika fungsi densitas probabilitasnya dapat diekspresikan dengan mengalikan parameter skala ke fungsi eksponensial parameter skala minus dan x untuk semua x lebih besar dari atau sama dengan nol, jika tidak fungsi kepadatan probabilitas sama dengan nol.
Secara matematis, fungsi kepadatan probabilitas direpresentasikan sebagai,
sehingga mean sama dengan 1 / λ, dan varians sama dengan 1 / λ 2 .
Perhitungan Distribusi Eksponensial (Langkah demi Langkah)
- Langkah 1: Pertama, coba cari tahu apakah peristiwa yang dipertimbangkan bersifat kontinu dan independen dan terjadi pada laju yang kira-kira konstan. Setiap kejadian praktis akan memastikan bahwa variabel lebih besar dari atau sama dengan nol.
- Langkah 2: Selanjutnya, tentukan nilai parameter skala, yang selalu merupakan kebalikan dari mean.
-
- λ = 1 / rata-rata
- Langkah 3: Selanjutnya, kalikan parameter skala λ dan variabel x kemudian hitung fungsi eksponensial dari hasil perkaliannya dikalikan dengan minus satu, yaitu e - λ * x .
- Langkah 4: Terakhir, fungsi kepadatan probabilitas dihitung dengan mengalikan fungsi eksponensial dan parameter skala.
Jika rumus di atas berlaku untuk semua x lebih besar dari atau sama dengan nol, maka x adalah distribusi eksponensial.
Contoh
Mari kita ambil contoh, x, yang merupakan jumlah waktu yang dibutuhkan (dalam menit) oleh petugas kantor untuk mengirim dari meja manajer ke meja juru tulis. Fungsi waktu yang dibutuhkan diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan jumlah waktu rata-rata lima menit.
Mengingat bahwa x adalah variabel acak kontinu sejak waktu diukur.
Rata-rata, μ = 5 menit
Oleh karena itu, parameter skala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Oleh karena itu, fungsi probabilitas distribusi eksponensial dapat diturunkan sebagai,
f (x) = 0,20 e - 0,20 * x
Sekarang, hitung fungsi probabilitas pada nilai x yang berbeda untuk mendapatkan kurva distribusi.
Untuk x = 0
fungsi probabilitas distribusi eksponensial untuk x = 0 akan,
Demikian pula, hitung fungsi probabilitas distribusi eksponensial untuk x = 1 hingga x = 30
- Untuk x = 0, f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- Untuk x = 1, f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- Untuk x = 2, f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- Untuk x = 3, f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- Untuk x = 4, f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- Untuk x = 5, f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- Untuk x = 6, f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- Untuk x = 7, f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- Untuk x = 8, f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- Untuk x = 9, f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- Untuk x = 10, f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- Untuk x = 11, f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- Untuk x = 12, f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- Untuk x = 13, f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- Untuk x = 14, f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- Untuk x = 15, f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- Untuk x = 16, f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- Untuk x = 17, f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- Untuk x = 18, f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- Untuk x = 19, f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- Untuk x = 20, f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- Untuk x = 21, f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- Untuk x = 22, f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- Untuk x = 23, f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- Untuk x = 24, f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- Untuk x = 25, f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- Untuk x = 26, f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- Untuk x = 27, f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- Untuk x = 28, f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- Untuk x = 29, f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- Untuk x = 30, f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
Kami telah menurunkan kurva distribusi sebagai berikut,
Relevansi dan Penggunaan
Meskipun asumsi laju konstan sangat jarang dipenuhi dalam skenario dunia nyata, jika interval waktu dipilih sedemikian rupa sehingga laju kira-kira konstan, maka distribusi eksponensial dapat digunakan sebagai model perkiraan yang baik. Ini memiliki banyak aplikasi lain di bidang fisika, hidrologi, dll.
Dalam teori statistik dan probabilitas, ekspresi distribusi eksponensial mengacu pada distribusi probabilitas yang digunakan untuk menentukan waktu antara dua peristiwa berurutan yang terjadi secara independen dan terus menerus pada tingkat rata-rata yang konstan. Ini adalah salah satu distribusi kontinu yang banyak digunakan dan sangat terkait dengan distribusi Poisson di excel.
