Teorema Batas Pusat (Definisi, Rumus) - Perhitungan & Contoh

Definisi Teorema Batas Pusat

Teorema batas pusat menyatakan bahwa sampel acak dari variabel acak populasi dengan distribusi apa pun akan mendekati distribusi probabilitas normal ketika ukuran sampel meningkat dan mengasumsikan bahwa ketika ukuran sampel dalam populasi melebihi 30, mean dari sampel yang rata-rata dari semua pengamatan untuk sampel akan mendekati sama dengan rata-rata untuk populasi.

Rumus Teorema Batas Pusat

Kita telah membahas bahwa ketika ukuran sampel melebihi 30, distribusi mengambil bentuk distribusi normal. Untuk menentukan distribusi normal suatu variabel, penting untuk mengetahui mean dan variansnya. Distribusi normal dapat dinyatakan sebagai

X ~ N (µ, α)

Dimana

  • N = tidak ada observasi
  • µ = rata-rata observasi
  • α = deviasi standar

Dalam kebanyakan kasus, pengamatan tidak mengungkapkan banyak hal dalam bentuk aslinya. Jadi, penting untuk membakukan pengamatan agar dapat membandingkannya. Itu dilakukan dengan bantuan skor-z. Diperlukan untuk menghitung skor Z untuk observasi. Rumus untuk menghitung skor-z adalah

Z = (X- µ) / α / √n

Dimana

  • Z = Z-skor pengamatan
  • µ = rata-rata observasi
  • α = deviasi standar
  • n = ukuran sampel

Penjelasan

Teorema batas pusat menyatakan bahwa sampel acak dari variabel populasi acak dengan distribusi apa pun akan mendekati distribusi probabilitas normal seiring bertambahnya ukuran sampel. Teorema batas pusat mengasumsikan bahwa jika ukuran sampel dalam populasi melebihi 30, mean sampel, yang rata-rata dari semua pengamatan untuk sampel, akan mendekati sama dengan rata-rata populasi. Selain itu, deviasi standar sampel ketika ukuran sampel melebihi 30 akan sama dengan deviasi standar populasi. Karena sampel dipilih secara acak dari seluruh populasi dan ukuran sampel lebih dari 30, maka hal ini membantu dalam pengujian hipotesis dan membangun interval kepercayaan untuk pengujian hipotesis.

Contoh Rumus Teorema Central Limit (dengan Template Excel)

Contoh 1

Mari kita pahami konsep distribusi normal dengan bantuan sebuah contoh. Pengembalian rata-rata dari reksa dana adalah 12%, dan standar deviasi dari rata-rata pengembalian investasi reksa dana adalah 18%. Jika kita berasumsi bahwa distribusi pengembalian didistribusikan secara normal, maka mari kita tafsirkan distribusi pengembalian investasi reksa dana.

Diberikan,

  • Pengembalian rata-rata untuk investasi akan menjadi 12%
  • Deviasi standar akan menjadi 18%

Jadi, untuk mengetahui return untuk interval kepercayaan 95%, kita dapat mengetahuinya dengan menyelesaikan persamaan sebagai

  • Kisaran Atas = 12 + 1.96 (18) = 47%
  • Kisaran Bawah = 12 - 1,96 (18) = -23%

Hasilnya menunjukkan bahwa 95% dari waktu ke waktu, return dari reksa dana akan berada di kisaran 47% hingga -23%. Dalam contoh ini, ukuran sampel, yang merupakan pengembalian sampel acak lebih dari 30 pengamatan pengembalian, akan memberi kita hasil pengembalian populasi reksa dana karena distribusi sampel akan didistribusikan secara normal.

Contoh # 2

Melanjutkan contoh yang sama, mari kita tentukan apa yang akan menjadi hasil untuk interval kepercayaan 90%

Diberikan,

  • Pengembalian rata-rata untuk investasi akan menjadi 12%
  • Deviasi standar akan menjadi 18%

Jadi, untuk mengetahui return untuk selang kepercayaan 90%, kita bisa mengetahuinya dengan menyelesaikan persamaan sebagai

  • Kisaran Atas = 12 + 1.65 (18) = 42%
  • Kisaran Bawah = 12 - 1,65 (18) = -18%

Hasilnya menunjukkan bahwa 90% dari waktu ke waktu return dari reksa dana akan berada pada kisaran 42% hingga -18%.

Contoh # 3

Melanjutkan contoh yang sama, mari kita tentukan apa yang akan menjadi hasil untuk interval keyakinan 99%

Diberikan,

  • Pengembalian rata-rata untuk investasi akan menjadi 12%
  • Deviasi standar akan menjadi 18%

Jadi, untuk mengetahui return untuk selang kepercayaan 90%, kita bisa mengetahuinya dengan menyelesaikan persamaan sebagai

  • Kisaran Atas = 12 + 2.58 (18) = 58%
  • Rentang Bawah = 12 - 2.58 (18) = -34%

Hasilnya menandakan bahwa 99% dari waktu ke waktu return dari reksa dana akan berada pada kisaran 58% hingga -34%.

Relevansi dan Penggunaan

Teorema batas pusat sangat bermanfaat karena memungkinkan peneliti untuk memprediksi mean dan deviasi standar dari seluruh populasi dengan bantuan sampel. Karena sampel dipilih secara acak dari seluruh populasi dan ukuran sampelnya lebih dari 30, maka ukuran sampel acak yang diambil dari populasi akan mendekati distribusi normal, yang akan membantu dalam pengujian hipotesis dan membangun interval kepercayaan untuk pengujian hipotesis. Berdasarkan teorema batas pusat, peneliti dapat memilih sampel acak dari seluruh populasi, dan jika ukuran sampel lebih dari 30,kemudian dapat memprediksi populasi dengan bantuan sampel karena sampel akan mengikuti distribusi normal dan juga sebagai mean dan standar deviasi sampel akan sama dengan mean dan standar deviasi populasi.

Artikel yang menarik...